TIPOS DE SUCESIONES!!!

SUCESION!!!PRUEBA ESTE ENLACE!!!!!
En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.
Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.
En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.
Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.
Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas



TIPOS DE SUCESIONES!!!!!!

Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)ⁿ n

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_n= k.

a_n = a_n+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ a_n ≤ K'

Ejemplos de sucesiones

a_n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

b_n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

c_n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

d_n= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)^n-1 2ⁿ

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

!!!FUNCIONES!!! e !! INECUACIONES!!!

DEFINICION DE UNA FUNCION:Una funcion es un proceso a traves del cual se transforma un estado inicial en un estado final deseado y tal proceso se conoce de antemano.

GRAFICA DE UNA FUNCION:Para graficar una funcion utilizaremos el plano cartesiano y una tabla de valores que relaciona la variable dependiente con la independiente a traves de la funcion.



FUNCION CONSTANTE:
En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:

donde a es la constante. FUNCION LINEAL:Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

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!!ALGUNOS EJEMPLOS!!

 

FUNCION CUADRATICA:

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.







!!!VIDEO!!!APLICACIONES DE LA FUNCION CUADRATICA:ALGUNAS APLICACIONES


FUNCION CUBICA:
La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:

 ; donde a es distinto de 0.

El domino y la imagen de esta función pertenecen a los números reales.

DOMINIO Y RANGO:
El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
f(x) = ,
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:






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  INECUACIONES:

 Menor que" y "Mayor que" redirigen aquí. Para el uso de "<" y ">" como signos de puntuación .

 

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.


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EJEMPLO:

Se han cargado dos contenedores de igual peso y otra carga de 4 toneladas en un camión que soporta una carga máxima de 12 toneladas. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso de cada contenedor?

Datos conocidos	Datos desconocidos
Dos contenedores de igual peso Carga máxima: 12 t	Peso de cada contenedor

Peso de un contenedor → x

Carga del camión → x + x + 4 = 2x + 4

$$La carga del camión ︸ 2 x + 1 debe ser menor o igual ︸ ≤ que carga máx . ︸ 12

La inecuación será 2x + 4 ≤ 12.

Resolvemos la inecuación 2x + 4 ≤ 12.

1. 1.^o Transformamos la inecuación en ecuación, cambiando el signo de la desigualdad por un signo =.
   2x + 4 ≤ 12 → 2x + 4 = 12
2. 2.^o Resolvemos la ecuación resultante.
   2x + 4 = 12 → 2x = 12 - 4 → x = 4
3. 3.^o Representamos la solución en la recta.

Solución en la recta

1. 4.^o Tomamos un punto que esté situado a la derecha de la solución y otro a la izquierda. Comprobamos cuál de ellos verifica la inecuación.
   x = 5 → 2 · 5 + 4 ≰ 12 → No la cumple.
   x = 3 → 2 · 3 + 4 ≰ 12 → La cumple.
   x= 4 → 2 · 4 + 4 ≤ 12 → La cumple.
   El punto x = 4 y todos los situados a su izquierda, es decir, el intervalo (-∞, 4], son solución de la inecuación.
2. 5.^o Interpretamos la solución. Como en el problema un peso negativo no tiene sentido, la solución es [0, 4].

!!!FUNCIONES!!!

DEFINICION DE UNA FUNCION: